Computo II

Funciones exponenciales y logarítmicas

-Propiedades logaritmicas:

1. ln (1) = 0
2. ln (ab) = lna + lnb
3. ln (a^n) = n*lna
4. ln (a/b) = lna - lnb

Derivada de una función logaritmo natural

-Sea u una función derivable en x:

1. d/dx [ln x] = 1/x
2. d/dx [la u] = 1/u du/dx = u'/u

Derivadas de funciones exponenciales

1- d/dx [e^x] = e^x
2- d/dx [e^u] = e^a du/dx = e^u * u'

Derivación  implicita 

Encontrar dy/dx = y^3+y^2-5y-x^2 = 4

1. Derivarlos miembros de la ecuación respecto a x:

d/dx  [y^3] + d/dx [y^2] - d/dx [5y] - d/dx [x^2] = d/dx[-4]

3y^2 dy/dx + 2y dy/dx - 5dy/dx - 2x = 0

2. Agrupar los términos con dy/dx en la parte ixquierda y pasar todos los demás al lado derecho:

3y^2 d/dx + 2y-5 dy/ dx  = 2x

3. Factorizar dy/dx en la parte izquierda:

dy/dx (3y^2 + 2y - 5) = 2x

4. Despejar dy/dx dividiendo entre (3y^2 + 2y - 5)

dy/dx = 2x/3y^2 + 2y - 5

Extremos de un intervalo

Si f''(x) es positivo: es un mínim relativo de la función.

Si f''(x) es negativo: es un mínimo relativo de la función.

Criterio para las funciones crecientes y decrecientes

1. Si f'(x) > 0 para todo x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b]

2. Si f'(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]

3. Si f'(x) = 0 para todo x en (a,b), entonces f es constante en [a,b]

Criterio de concavidad

1. Si f''(x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.

2. Si f'' (x) < 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

Integral indefinida

Las soluciones se denominan antiderivadas o integración indefinida y se denota:

y = f(x) dx = f (x) + c